理工学部生のメモ

大学生の気ままなメモです。書いてあることを真に受けないでください

非同次2階定数係数線形微分方程式の解法


y''+ay'+by'=f(x) \ (a,bは定数) \ \ \ \ \ \ \ \ (1)

のようなタイプの微分方程式非同次2階定数係数線形微分方程式という。(名前が長い。。。) 今仮にこの微分方程式の1つの解y_0(x)が見つかったとしよう。このもとで新たな変数を

z=y-y_0(x)

と置いたときz''+az'+bzの値をyとy_0がともに(1)式の解であることに注意して計算すると以下のようになる。

$$ \begin{align} z''+az'+bz &= (y-y_0)''+a(y-y_0)'+b(y-y_0) \\ &= (y''+ay'+by)-(y''_0+ay'_0+by_0) \\ &= f(x)-f(x) \\ &= 0 \end{align} $$ したがって、

z''+az'+bz=0

が得られ、これはzについての同次型の微分方程式であるので一般解は以下のようになる。

z=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)

よって(1)式のyについての一般解は以下のようになる。

y=z(x)+y_0(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y_0(x)

この結果が意味することは結局、(1)式の一般解は、f(x)=0としたときの微分方程式の一般解に(1)式の特殊解を足し合わせたものになっているのである。

参考文献

講座 数学の考え方〈7〉常微分方程式論

講座 数学の考え方〈7〉常微分方程式論