$y''+ay'+by'=f(x) \ (a,bは定数) \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

のようなタイプの微分方程式を非同次2階定数係数線形微分方程式という。(名前が長い。。。) 今仮にこの微分方程式の１つの解 $y_0(x)$ が見つかったとしよう。このもとで新たな変数を

$z=y-y_0(x)$

と置いたとき $z''+az'+bz$ の値をyと $y_0$ がともに(1)式の解であることに注意して計算すると以下のようになる。

$$ \begin{align} z''+az'+bz &= (y-y_0)''+a(y-y_0)'+b(y-y_0) \\ &= (y''+ay'+by)-(y''_0+ay'_0+by_0) \\ &= f(x)-f(x) \\ &= 0 \end{align} $$ したがって、

$z''+az'+bz=0$

が得られ、これはzについての同次型の微分方程式であるので一般解は以下のようになる。

$z=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$

よって(1)式のyについての一般解は以下のようになる。

$y=z(x)+y_0(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y_0(x)$

この結果が意味することは結局、(1)式の一般解は、f(x)=0としたときの微分方程式の一般解に(1)式の特殊解を足し合わせたものになっているのである。

参考文献

理工学部生のメモ